f ″ (x) < 0 im Intervall Der. 1 positiv, so ist der Graph dort linksgekrümmt. negativ, so ist der Graph dort rechtsgekrümmt. Man überlegt sich, in welche Richtung man lenken müsste. 2 linksgekrümmt konvex Der Graph der ersten Ableitung fällt (steigt) und die Steigung der Tangente an den Graphen der ersten Ableitung ist negativ (positiv). Da die zweite Ableitung die Steigung der . 3 Der Funktionsgraph ist linksgekrümmt (konvex). Beispiel 1. Die linke Kurve dreht sich im Uhrzeigersinn. Sie ist rechtsgekrümmt (konkav). 4 Der Funktionsgraph dreht sich um Gegegnuhrzeigersinn. Der Funktionsgraph ist linksgekrümmt (konvex). Beispiel 1 Die linke Kurve dreht sich im Uhrzeigersinn. Sie ist rechtsgekrümmt (konkav). Die rechte Kurve dreht sich im Gegenuhrzeigersinn. Sie ist linksgekrümmt (konvex). 0,0 rechtsgekrümmt linksgekrümmt Abb. 1 Merkhilfen Wenn die 2. 5 krümmungsverhalten aufgaben Um zu erkennen in welche Richtung der Graph gekrümmt ist, kann man sich ihn wie eine Straße vorstellen, auf der man von links nach rechts auf der x-Achse entlang fährt. In die . 6 Das Krümmungsverhalten eines Funktionsgraphen an einer Stelle x x ist die Richtungsänderung in diesem Punkt. Man unterscheidet rechtsgekrümmte und linksgekrümmte Abschnitte sowie Wendepunkte. Meist interessiert man sich für das Krümmungsverhalten bestimmter Abschnitte des Graphen. 7 Damit ist f rechtsgekrümmt (konkav) für alle x, die kleiner als -1 sind. Um die Stellen zu finden, wo die Funktion eine Linkskurve macht, löst du die umgekehrte Ungleichung: 6x + 6 > 0 ⇔ 6x > -6 ⇔ x > Das bedeutet: f ist linksgekrümmt (konvex) für alle x, die größer als -1 sind. 8 Um zu erkennen in welche Richtung der Graph gekrümmt ist, kann man sich ihn wie eine Straße vorstellen, auf der man von links nach rechts auf der x-Achse entlang fährt. In die Richtung, in die das Lenkrad gedreht sein muss, um auf dem Graphen zu bleiben, in diese Richtung verläuft die Krümmung. 9 Die Krümmung einer Funktion ergibt sich aus der zweiten Ableitung der Funktion. Ist die 2. Ableitung f '' (x) > 0, ist die Funktion (bzw. ihr Graph) linksgekrümmt (konvex, positiv gekrümmt, Linkskurve), die Steigung nimmt zu; linksgekrümmt heißt: wenn man sich die Funktionskurve als Bobbahn vorstellt und man mit seinem Bob darin sitzt. krümmungsverhalten e-funktion 10 Der Graph der Funktion f(x) ist für rechtsgekrümmt und für linksgekrümmt. Durch den Graphen kannst du das erkennen, indem du die Vorstellung nutzt, mit dem Auto. 11 linksgekrümmte funktion beispiel 12